很快。
小麦在纸上写下了一个公式:
F= T·sin(θ Δθ)-T·sinθ。
徐云满意的点了点头,又说道:
“那么波的质量是多少呢?”
“波的质量?”
这一次。
小麦的眉头微微皱了起来。
如果假设波段单位长度的质量为μ,那么长度为Δl的波段的质量显然就是μ·Δl。
但是,因为徐云所取的是非常小的一段区间。
假设A点的横坐标为x,B点的横坐标为x Δx。
也就是说绳子AB在横坐标的投影长度为Δx。
那么当所取的绳长非常短,波动非常小的时候,则可以近似用Δx代替Δl。
这样绳子的质量就可以表示为......
μ·Δx
与此同时。
一旁的基尔霍夫忽然想到了什么,瞳孔微微一缩,用有些干涩的英文说道:
“等等......合外力和质量都已经确定了,如果再求出加速度....”
听到基尔霍夫这番话。
原本就不怎么喧闹的教室,忽然又静上了几分。
对啊。
不知不觉中,徐云已经推导出了合外力和质量!
如果再推导出加速度......
那么不就可以以牛二的形式,表达出波在经典体系下的方程了吗?
想到这里。
几位大佬纷纷拿出纸笔,尝试性的计算起了最后的加速度。
说起加速度,首先就要说说它的概念:
这个是用来衡量速度变化快慢的量。
加速度嘛,肯定是速度加得越快,加速度的值就越大。
比如我们经常可以听到的“我要加速啦”等等。
假如一辆车第1秒的速度是2m/s,第2秒的速度是4m/s。
那么它的加速度就是用速度的差(4-2=2)除以时间差(2-1=1),结果就是2m/s2。
再来回想一下,一辆车的速度是怎么求出来的?
当然是用距离的差来除以时间差得出的数值。
比如一辆车第1秒钟距离起点20米,第2秒钟距离起点50米。
那么它的速度就是用距离的差(50-20=30)除以时间差(2-1=1),结果就是30m/s。
不知道大家从这两个例子里发现了什么没有?
没错!
用距离的差除以时间差就得到了速度,再用速度的差除以时间差就得到了加速度,这两个过程都是除以时间差。
那么......
如果把这两个过程合到一块呢?
那是不是就可以说:
距离的差除以一次时间差,再除以一次时间差就可以得到加速度?
当然了。
这只是一种思路,严格意义上来说,这样表述并不是很准确,但是可以很方便的让大家理解这个思想。
如果把距离看作关于时间的函数,那么对这个函数求一次导数:
就是上面的距离差除以时间差,只不过趋于无穷小,就得到了速度的函数、
对速度的函数再求一次导数,就得到了加速度的表示。
鲜为人同学们懂不懂不知道,反正在场的这些大佬们很快便都想到了这一点。
是的。
之前所列的函数f(x,t)描述的内容,就是波段上某一点在不同时间t的位置!
所以只要对对f(x,t)求两次关于时间的导数,自然就得到了这点的加速度a。
因为函数f是关于x和t两个变量的函数,所以只能对时间的偏导?f/?t,再求一次偏导数就加个2上去。
因此很快。
包括法拉第在内,所有大佬们都先后写下了一个数值:
加速度a=?2f/?t2。
而将这个数值与之前的合力与质量相结合,那么一个新的表达式便出现了:
F= T·sin(θ Δθ)-T·sinθ=μ·Δx?2f/?t2。
随后威廉·韦伯认真看了眼这个表达式,眉头微微皱了些许:
“罗峰同学,这就是最终的表达式吗?我似乎感觉好像还能化简?”
徐云点了点头:
“当然可以。”
F= T·sin(θ Δθ)-T·sinθ=μ·Δxa?2f/?t2。
这是一个最原始的方程组,内容不太清晰,方程左边的东西看着太麻烦了。
因此还需要对它进行一番改造。
至于改造的思路在哪儿呢?
当然是sinθ了。
只见徐云拿起笔,在纸上画了个直角三角形。
众所周知。
正弦值sinθ等于对边c除以斜边a,正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
徐云又画了个夹角很小的直角三角形,角度估摸着只有几度:
“但是一旦角度θ非常非常小,那么邻边b和斜边a就快要重合了。”
“这时候我们是可以近似的认为a和b是相等的,也就是a≈b。”
随后在纸上写到:
【于是就有c/b≈c/a,即tanθ≈sinθ。】
【之前的公式可写成F= T·tan(θ Δθ)-T·tanθ=μ·Δxa?2f/?t2。】
“稍等一下。”
看到这句话,法拉第忽然皱起了眉头,打断了徐云。
很明显。
此时他已经隐隐出现了掉队的迹象:
“罗峰同学,用tanθ替代sinθ的意义是什么?”
徐云又看了小麦,小麦当即心领神会:
“法拉第先生,因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率呀,也就是代表曲线在某一点的导数。”
“正切值的表达式是tanθ=c/b,如果建一个坐标系,那么这个c刚好就是直线在y轴的投影dy,b就是在x轴的投影dx。”
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